Resolución de problemas matemáticos: Polya

Entramos poco a poco en el modo vacaciones. Cada vez nos cuesta más meter entradas en el blog, pero espero que recuperemos el ritmo en septiembre.
En la misma línea que la entrada anterior, voy a a añadir consejos sobre el método de resolución de problemas matemáticos. Concretamente consejos de Polya, el famoso matemático y sobre divulgador y profesor, preocupado por cómo se debe enseñar la matemática. A mi me gusta bastante una frase suya, como respuesta ala pregunta de por qué quiso ser matemático:
No era lo suficientemente inteligente para ser físico, y demasiado para ser filósofo, así que elegí matemáticas, que es una cosa intermedia.
Je, muy buena definición.

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• Comprender el problema (identificar el objetivo)

El primer paso debe ser leer cuidadosamente el problema. Asegúrate de que lo entiendes con claridad y de que no se te escapa ningún detalle. Házte a ti mismo estas preguntas:

• ¿Cuáles son las incógnitas?
• ¿Qué datos nos dan?
• ¿Qué relaciones existen?
• ¿Qué condiciones nos imponen?

En muchos problemas es útil dibujar un diagrama o un esquema, e identificar en él los datos e incógnitas del problema. Usualmente también es necesario introducir la notación adecuada.
En la elección de símbolos para las incógnitas a menudo usamos letras como a, b, c, x e y; pero en muchos casos ayuda usar iniciales como V para el volumen o t para el tiempo. Usa marcas (primas, barras, ...), subíndices o superíndices cuando sea necesario, pero intenta no recargar la notación.

• Traza un Plan (una estrategia de trabajo)

Para calcular la incógnita debes encontrar una conexión entre la información que se te ofrece y aquello que se te pregunta. A menudo te ayudará preguntarte explícitamente: “¿Cómo puedo relacionar los datos y la incógnita?”. Si no ves un conexión inmediatamente, las siguientes ideas pueden ayudarte a trazar un plan:

• Establece objetivos parciales (divide el problema en subproblemas)

En un problema complejo suele ser de gran ayuda dividirlo en problemas más pequeños. Si podemos resolver objetivos parciales tal vez seamos capaces de llegar, a través de ellos, a la solución completa.

• Intenta reconocer algo familiar.

Busca alguna relación entre la situación que se te plantea y tu conocimiento anterior. Intenta recordar un problema conocido con incógnitas o datos parecidos o que involucre una idea similar.

• Mira si existe un patrón en el problema.

Algunos problemas quedan resueltos cuando identificamos en él un patrón que se repite. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si puedes distinguir alguna regularidad o repetición en el problema, tal vez sea esa la clave de su resolución. (Si haces muchos problemas desarrollarás tu capacidad para reconocer patrones).

• Usa analogías.

Intenta pensar en un problema similar que esté relacionado con el que tienes que resolver pero que tenga una solución más simple. Un problema sencillo pero similar puede darte pistas para llegar a la solución final. Si tu problema es de tipo general, intenta en primer lugar un caso particular. (Hay que hacer cuantos más problemas, mejor. Así tendrás una buena base para encontrar analogías).

• Introduce algo extra.

En ocasiones puede ser necesario introducir algo nuevo, una ayuda auxiliar, que facilite encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. Por ejemplo, en un problema geométrico puede ayudar trazar líneas adicionales o en un problema algebraico introducir una nueva variable relacionada con la incógnita.

• Separa en casos.

A veces un problema puede ser troceado en varios casos, de forma que sea sencillo encontrar una solución diferente para cada caso. Por ejemplo, separar entre valores positivos y negativos o entre valores enteros y decimales. Si haces esto, cuida de no dejar por estudiar ninguna posibilidad (por ejemplo, el valor cero).

• Trabaja hacia atrás (asume que la respuesta ya la conoces).

A menudo es útil imaginar que ya ha sido resuelto el problema y, a partir de la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. Entonces bastará recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos a la solución.

• Razonamiento indirecto.

Hay otros casos en los que resulta apropiado cambiar de estrategia. Por ejemplo, intentar resolver algebraicamente un problema geométrico o al revés. También puede ser interesante el método de reducción al absurdo: Si quieres probar que P implica Q, podrías intentar probar que es imposible que se dé al mismo tiempo que P es cierto y Q falso.

• Llevar a cabo el Plan

Una vez trazado el plan, hay que ponerlo en práctica. Al llevarlo a cabo debe chequearse cada paso y escribir los detalles que lo hacen correcto. Una ristra de ecuaciones no es suficiente, comenta lo que haces y por qué lo haces. Procura además escribir con orden y claridad, poniendo apartados y observaciones si eso hace más comprensible tu trabajo. Puede ser útil numerar las ecuaciones intermedias o poner marcas (asteriscos, etc.). Cuando llegues a la solución destácala (encuadrándola por ejemplo).

• Mirar hacia atrás (comprobaciones finales)

Debes ser meticuloso con tus resultados, buscando posibles errores (inconsistencias, ambigüedades, incorrecciones) en tus soluciones. Tú mismo debes ser tu crítico más duro. En la medida de lo posible deberías chequear el resultado. Aquí tienes una lista de posibilidades:

• ¿Existe un método de resolución alternativo que dé al menos una respuesta parcial?
• Intenta una aproximación similar para algún problema parecido aunque sea más simple.
• Comprueba los signos y las unidades (dos veces mejor que una sola).
• Si la respuesta fue numérica, ¿es razonable el orden de magnitud?
• ¿Varía la respuesta numérica de la forma esperable si cambias uno o más parámetros?
• Chequea los casos límite en los que la respuesta sea fácil o conocida.
• Chequea los casos especiales en los que la respuesta tenga alguna peculiaridad.
• Comprueba si tu solución refleja las posibles simetrías del problema.
• Haz algún experimento (mental, al menos) para ver que la respuesta tiene sentido.