martes, 1 de agosto de 2006

Teoría del Caos

La cantidad de estupideces que se pueden decir sobre la "teoría" del caos. Supongo que casi las mismas que de la cuántica. Otros conceptos pertenecientes a otros ámbitos de la física y las matemáticas no están tan degradados como éstos, pero es que no es tan fácil hacer magia con la termodinámica, o con las integrales. En fin, en la red podemos leer joyas como ésta, en un curso sobre la "teoría del Caos":
"La motivación del módulo Teoría del Caos es una muestra de la convergencia del saber científico con algunas concepciones religiosas muy antiguas sobre el principio del universo y el conocimiento del mismo."
¡Se me pone la carne de gallina!
Pero hay más:
"Cuando estamos mirando el fluir de un arroyo, escuchando el viento a través de los árboles y el canto de los pájaros u observando la conducta de las hormigas, podemos llegar a sentir desde los microacontecimientos que, llenos de matices, fluyen sobre nosotros, hasta el flujo de las olas del tiempo más grandes y lentas, como el movimiento del Sol a través del cielo, el calor de la Tierra, la germinación de las semillas, el envejecimiento de los árboles, etc.
Todas estas dimensiones fractales del tiempo se curvan y se quiebran también dentro de nuestros cuerpos, y están sincronizadas con nuestros ritmos temporales interiores.

A muchos compositores se les ocurre una composición completa en un segundo o en menos, es decir fuera del tiempo, puesto que en estos momentos la pueden "escuchar" entera. Ya a la ho-ra de traducirlas en notas, han de situar la obra en un tiempo lineal.
Así mismo, artistas creativos explican la contemplación de una obra de arte completa en un instante, desarrollando posteriormente algunos detalles.
"

Es cierto, la sensación del paso del tiempo subjetivo tiene mucho que ver con la teoría del caos...
Mas joyas:
"Estoy finalizando un master en dirección estratégica de la comunicación corporativa y tengo previsto desarrollar un trabajo a modo tesis final en el que ilustre la relación existente entre la función estratégica de la comunicación en las organizaciones y la teoría del caos.
Soy un 'ingnorante' en la materia , pero tuve la ocasión de entrar en contacto con la geometría fractal a través de una campaña de publicidad que preparamos para la empresa en la que trabajo como responsable de comunicación, desde entonces todavía llevo dentro cierta inquietud; este es de alguna manera el estimulo o lo que ha motivado por centrar el trabajo sobre este asunto. "

En fin. Ya sabemos lo que no es la teoría del caos. Pero ¿Qué es?
En primer lugar, dejemos a un lado lo de la "teoría", se trata del estudio de ciertos sistemas dinámicos determinísticos no lineales. Es decir, se trata del estudio de sistemas cuyo comportamiento está determinado por unas ecuaciones diferenciales que, al no ser lineales (y otras condiciones) tienen un comportamiento curioso.
En princpio, al ser deterministas, una vez se conocen las condiciones iniciales se puede determinar la evolución del sistema con total precisión. Sin embargo no siempre se pueden determinar esas condicioens iniciales con total precisión. Por ejemplo, cuando se estudia la evolución de la atmósfera para hacer predicciones del tiempo, no podemos saber todo sobre todas las partículas que componen toda la atmósfera de la Tierra, y su interacción con el Sol, el espacio, etc. El error que cometemos, al tratarse de ecuaciones no-lineales y hacer aproximaciones en los valores, hace que la solución diverja rápidamente y en unos cuatro días puede que no tenga nada que ver con la realidad.
En los sitemas lineales un pequeño error hace que las soluciones tengan también un pequeño error, y se pueda estudiar el comportamiento del sistema.

Lo que pretende la "teoría" del caos, es estudiar el comportamiento de estos sistemas, para saber si, a pesar de ser tan complejos, podemos obtener información sobre ellos. Por ejemplo, se estudia si las soluciones se quedan en una zona del espacio de fases o no, cuán rápido se separan, etc. En el diagrama (famoso) de Lorentz se representan las soluciones en función de tres parámetros del sistema dinámico determinístico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones de la atmósfera terrestre, desarrolladas por Lorentz.
Una forma de ver cuánto divergen esas soluciones asociadas a condiciones iniciales ligeramente diferentes es el exponente de Liapunov. Este exponente es el máximo valor que alcanza el promedio del orden exponencial de la velocidad, con la cual las configuraciones globales se alejan (o se acercan) de sus configuraciones globales inmediatas siguientes.

Si el exponente es L=0, tenemos una serie periódica, si es L>0 es una serie caótica, y si es infinito, se trata de una serie aleatoria.
Un ejemplo de ecuación determinista pero caótica es:

Se puede ilustrar el "efecto mariposa" comparando los gráficos que resultan cuando se utilizan las siguientes condiciones iniciales:
Sistema A: Xo = 0.399999
Sistema A + una mariposa: Xo = 0.400000 (apenas una millonésima de diferencia)

Para saber más:
Caos Deterministas en la Wikipedia
Artículo sobre el Caos
El exponente de Liapunov

1 comentario:

Fermatiana dijo...

Este tema me tiene bastante inquietada.
En primer lugar, felicito por el blog, ya que el contenido es bastante interesante y está, para mi gusto, bastante bien explicado (otras fuentes suelen ser bastante confusas para una aficionada poco documentada como yo).
Estoy a un año de empezar la carrera, y todo lo que sea sobre matemáticas me encargo de averiguarlo, ya sea por divulgación o como sea. Espero que se empiece a extender más la idea y la afición de ampliar conocimientos, investigar y crear webs como esta, que a algunos nos viene de perlas.
Como la entrada es del 2006 no creo tener respuestas, pero dejo escrito que busco libros sobre el tema de las fractales y la teoría del caos que pueda abordar.
Muchas gracias por la información y un saludo.