miércoles, 21 de febrero de 2007

Teorema PI, Análisis Dimensional

O teorema de Vaschy-Buckingham.
En la física es muy importante tener en cuenta las dimensiones de las cantidades. Esto nos lo enseñan desde el colegio. No tiene ningún sentido que juntemos peras con manzanas, hasta Espe lo sabe.
Sin embargo las leyes fundamentales, es decir, las relaciones entre las diferentes magnitudes son independientes de esas unidades. La fuerza que ejerce una partícula cargada sobre otra depende de la carga de ambas, de la distancia y de nada más. Independientemente de las unidades.
El análisis dimensional usando el Teorema Pi permite comprobar errores, verificar consistencia y evaluar algunas leyes fundamentales.
El teorema dice lo siguiente:


Si quereis ver un desarrollo más profundo os recomiendo un documento sobre el teorema de Luis Quintanar, y para comprender fundamentalmente cómo funciona y lo que quiere decir el Arte de la Aproximación de Sanjoy Mahajan.
Pero de todas formas veamos un ejemplo, algo sencillo. Una polea con dos masas:

¿Qué magnitudes consideramos? Está claro que las masas tienen que ver con el proceso, y también parece razonable que la aceleración de la gravedad tenga algo que ver. Estamos buscando la aceleración del sistema. Hasta ahora tenemos:
a LT−2 aceleración de m1
g LT−2 gravedad
m1 M masa del bloque 1
m2 M masa del bloque 2

Así que podemos definir los siguientes bloques adimensionales:
G1=m1/m2
G2=a/g
Sin embargo el bloque G1 tiene algo que puede mejorarse. A mi me gusta la simetría, la física no tiene porqué distinguir entre una masa y la otra. Si cambiamos una por la otra, ¿debería cambiar el comportamiento del sistema? Así que escogemos otro grupo adimensional más inteligentemente:
G1=m1-m2/(m2+m1)
Igualando ambos grupos adimensionales, tenemos que:
a/g=F{m1-m2/(m2+m1)}
Y para concretar esa función, pensamos que ocurriría si quitásemos una de las dos masas: al quedar la otra libre caería con la aceleración de la gravedad, así que la única posibilidad es:
a/g=m1-m2/(m2+m1)
Hay otros muchos ejemplos en el documento que os he puesto al principio: El Arte de la Aproximación.