lunes, 26 de marzo de 2007

Te compro la playa por tantos euros como granos de arena hay en mi mano.



En una escena de Local Hero, el protagonista intenta comprar 8km de playa al señor Knox. Cuando las cifras van cerca del millón de libras, éste coge un puñado de arena y le dice al protagonista: "Si me das una libra por cada grano de arena que tengo en la mano, te lo vendo". Cuando aquel no acepta la propuesta, el señor Knox le dice que no había más de 10.000 granos.
¿Es cierto? ¿cuántos granos de arena caben en un puñado? Una mano puede tener un tamaño de unos 10 cm. El área será, entonces 25 cm2. Cogiendo un puñado de arena, formando un cono con la arena en la mano, podemos conseguir un volumen que suba unos 3 cm. Así que el volumen será, aproximadamente y tirando por lo alto, unos 40cm3.
¿Cuánto mide un grano de arena? Podemos hacer una estimación del tamaño del grano. En una playa de arena fina, si cogemos un poco en la mano, no somos capaces de diferenciar los granos, unos de otros, si no acercamos mucho mucho la mano. Como ya conté, la resolución del ojo, a una distancia de unos 80 o 90 cm es de unos 0,1 mm (más exactamente una resolución angular de 1,4·10-4 rad = 5 ' de arco, pero nos vale esta estimación).
Si no podemos distinguir los granos a esa distancia, quiere decir que son más pequeños: ya tenemos una cota superior para su tamaño. Son, como mucho, de 0,1mm.
Ahora veamos el límite inferior. A unos 20cm ya distinguimos los granos, así que deben ser de un tamaño aproximado de entre 0,1mm y 0,05mm. Escogemos 0,08mm, es decir: 0,008cm.
Mirando datos reales en Internet, y suponiendo que son casi esféricos, el radio más pequeño que puede tener un grano de arena es del orden de unos 0,006 cm (6x10-3 cm), por debajo se considera limo. Un tamaño normal de arena fina es del orden de 0,03cm.
Así que ha sido una relativamente buena estimación, quizás algo baja.
Para ver cuántos granos caben en la mano, deberíamos tener en cuenta el grado de compactación de las esferas, pero para ésta estimación, y teniendo en cuenta que el vendedor se impacienta, dividimos los volúmenes:
VMano/VGrano=40 cm3/2,1x10-6cm3=11.000.000 granos
Tened en cuenta que hemos considerado el tamaño más pequeño de granos y que no hay espacio entre esferas. Si cogemos un tamaño medio, ya que no todas las playas tiene arena tan fina (de hecho es el límite de lo que se considra fango), de unos 0,05 cm, salen unos 80.000 granos. Si además consideramso el espacio que queda en los huecos, salen unos 50.000 granos.
Otro caso de este tipo de estimaciones rápidas lo tenemos en el libro de Feynman. En el examen de ingreso, creo que para el MIT, les pedían a los estudiantes que estimaran cuantos camiones hacen falta para vaciar una montaña.